辺の長さが a = 4、b = 7、c = 11 の三角形は何個あるか。

Step-by-step solution

1. 1

   三角不等式を正確に述べる。 3 つの正の長さが三角形をなすのは、どの 2 つの和も残り 1 つより真に大きいときに限る。実際には確認は 1 回で足りる。短い 2 辺の和と最長辺を比べればよい。

2. 2

   最長辺を見つけて確かめる。 最長は $c=11$ であり

   $4+7=11$

3. 3

   等号の場合を解釈する。 和は第 3 の辺より大きいのではなく、等しい。等号は、3 つの線分が一直線上にぴったり並ぶことを意味する。「三角形」は面積 0、高さ 0 の線分につぶれてしまう。このような退化した図形は三角形として数えない。

4. 4

   結論する。

   $\boxed{0\ \text{個}}$

5. 5

   近い場合と対比する。 $b$ を $7$ から $8$ に変えると $4+8=12>11$ となり、残る 2 つの確認（$4+11>8$、$8+11>4$）も成り立つので、辺 $4,8,11$ は三角形をちょうど 1 つ定める——3 辺の長さが決まれば、合同を除いて三角形は高々 1 つである。したがってこの型の問いの答えはつねに $0$ か $1$ であり、$2$ という答えが出るのは SSS ではなく SSA（2 辺と 1 角）の問題に限られる。