三角形 ABC において、AD は辺 BC に引いた中線であり、M は AD の中点である。ベクトル BM = λ·ベクトル BA + μ·ベクトル BC のとき、組 (λ, μ) を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   位置ベクトルに切り替えて、中点を平均として扱えるようにする。 各点の位置ベクトルを $\vec A,\vec B,\vec C,\vec D,\vec M$ と書く。こうすると中点が両端の平均そのものになり、図形の問題が係数についての計算に変わるという利点がある。

2. 2

   D を、続いて M を求める。 $AD$ は $BC$ に引いた中線なので、$D$ は $BC$ の中点である：

   $\vec D=\frac{\vec B+\vec C}{2}$

   さらに $M$ は $AD$ の中点なので：

   $\vec M=\frac{\vec A+\vec D}{2}=\frac{1}{2}\vec A+\frac{1}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C$

3. 3

   ベクトル BM を作る。 $B$ の位置ベクトルを引く：

   $\overrightarrow{BM}=\vec M-\vec B=\frac{1}{2}\vec A+\frac{1}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C-\vec B=\frac{1}{2}\vec A-\frac{3}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C$

4. 4

   目標の式も同じ座標で書き直す。 $\overrightarrow{BA}=\vec A-\vec B$、$\overrightarrow{BC}=\vec C-\vec B$ なので、

   $\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}=\lambda\vec A+\mu\vec C-(\lambda+\mu)\vec B$

5. 5

   係数を比較する。 $\vec A$ の項を比べると $\lambda=\tfrac12$、$\vec C$ の項を比べると $\mu=\tfrac14$ である。

   $\boxed{(\lambda,\mu)=\left(\tfrac12,\ \tfrac14\right)}$

6. 6

   3 つ目の係数で検算する。 $\vec B$ の項からは $-(\lambda+\mu)=-\tfrac34$ が要求されるが、実際 $\tfrac12+\tfrac14=\tfrac34$ である。この整合性の確認には意味がある。$\overrightarrow{BM}$ は点どうしの差であって原点の取り方によらないので、この種の式における $\vec A,\vec B,\vec C$ の 3 つの係数は必ず $0$ に和をもつのである。