等しい 2 辺が 13 cm、底辺が 24 cm の二等辺三角形の面積を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   底辺に垂線を下ろす。 二等辺三角形では、頂点から底辺に下ろした垂線が底辺を二等分し、三角形を合同な 2 つの直角三角形に分ける。それぞれ斜辺が $13$、一方の辺が

   $\frac{24}{2}=12\ \text{cm}$

   である。

2. 2

   三平方の定理で高さを求める。

   $h=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5\ \text{cm}$

   （おなじみの $5$–$12$–$13$ の直角三角形である。）

3. 3

   面積の公式を当てはめる。

   $A=\frac12\times\text{底辺}\times\text{高さ}=\frac12\times 24\times 5$

4. 4

   計算する。

   $A=60\ \text{cm}^{2}$

   $\boxed{60\ \text{cm}^{2}}$

5. 5

   ヘロンの公式で検算する。 半周長は $s=\tfrac{13+13+24}{2}=25$ なので

   $A=\sqrt{25(25-13)(25-13)(25-24)}=\sqrt{25\cdot 12\cdot 12\cdot 1}=\sqrt{3600}=60\ \text{cm}^{2}$

   となり、最初の方法と一致する ✓。

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   三角形が成立することを確認する。 三角不等式より $13+13=26>24$ ✓——ぎりぎりであり、だからこそこの三角形は非常に平たい。底辺 $24$ cm に対して高さがわずか $5$ cm しかないのである。