普通預金の年利は 3.4% で、利息は四半期ごとに複利で付く。Ashley はこの口座に 2,000 ドルを預ける。4 年後の残高をセント単位で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   周期的な複利の公式を選ぶ。 利息が年に決まった回数だけ加算されるので、残高は $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt},$ である。ここで $P$ は預入額、$r$ は小数で表した年利、$n$ は 1 年あたりの複利計算回数、$t$ は年数である。これは連続複利ではないので、ここで $Pe^{rt}$ を使うのは誤ったモデルである。

2. 2

   各入力を丁寧に見きわめる。 $P=2000,\qquad r=0.034,\qquad n=4,\qquad t=4.$ つまずきやすい点が 2 つある。年利は $3.4\%$ から $0.034$ に直さねばならないこと、そして「四半期ごと」は 1 年あたり $n=4$ 期を意味し、指数が数えるのは年ではなく四半期だということである。

3. 3

   期利率と期数を作る。 1 四半期あたりの利率は $\frac{r}{n}=\frac{0.034}{4}=0.0085\quad (0.85\%\text{（四半期あたり）}),$ であり、複利計算の回数は $nt=4\times 4=16\text{ 四半期}.$ である。

4. 4

   増加倍率を十分な桁で計算する。 $1.0085^{16}=1.14502360738\ldots$ ここでは精度が効く。倍率を $1.1437$ に切り詰めると残高が 3 ドル近く小さくなり、$1.145$ にすると数セント小さくなる。

5. 5

   元本を掛けて丸める。 $A=2000\times 1.14502360738=2290.04721476\ldots$ セント単位に丸めると $A=\$2{,}290.05.$ である。このうち \290.05$ が受け取った利息である。

6. 6

   単利と比べて検算する。 単利なら 2000(1+0.034\times 4)=2000\times 1.136=\2{,}272.00$になる。四半期複利はこれを上回らねばならず、実際$$18.05$だけ上回っている——小さいが確かに正の差であり、控えめな$3.4%$ の利率で 4 年ならちょうどこの程度である。