3年債が毎年80のクーポンを支払い、満期に額面1,000を償還する。現在の価格は938である。最終利回り y、すなわち 938 = 80/(1+y) + 80/(1+y)^2 + 1080/(1+y)^3 を満たす y を求めよ。

Step-by-step solution

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   この式を「価格 = キャッシュフローの現在価値」と読む。 各項は1回の支払いを、同じ未知の割引率 $y$ で今日まで割り引いたものである。最後の項が $80$ ではなく $1080$ なのは、3年目に最後のクーポンと額面 $1{,}000$ の両方が入るからである：$80+1000=1080$。最終利回りとは、現在価値をちょうど提示価格に等しくする唯一の割引率のことである。

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   $x=1+y$ と置いて分母を払う。 $x=1+y$ とすると式は

   $938=\frac{80}{x}+\frac{80}{x^2}+\frac{1080}{x^3}$

   となり、両辺に $x^3$ を掛けると3次方程式になる：

   $938x^3-80x^2-80x-1080=0$

   きれいな公式が存在しない理由がこれで分かる。3期以上では利回りは次数 $\ge 3$ の多項式の解になるので、数値的に求めるしかない。それでもこの置き換えには意味がある。関数が $x$ について明らかに減少する（利回りが高いほど価格は低い）ことが見え、経済的に意味のある解がちょうど1つだと分かるからである。

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   額面価格を手がかりに探索の起点を決める。 $y=8\%$（クーポン率）なら価格は

   $\frac{80}{1.08}+\frac{80}{1.08^2}+\frac{1080}{1.08^3}=74.07+68.59+857.34=1000.00$

   となり、ちょうど額面である。実際には $938<1000$ とディスカウントで取引されているので、利回りは $8\%$ より上でなければならない。この確認1つで、試行錯誤を始める前に探すべき向きが分かる。

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   2回の試算で解を挟み込む。 $y=10\%$（$x=1.10$）を試すと：

   $\frac{80}{1.10}+\frac{80}{1.21}+\frac{1080}{1.331}=72.7273+66.1157+811.4200=950.2630$

   まだ $938$ より上なので、利回りはもっと高い。$y=11\%$（$x=1.11$）を試すと：

   $\frac{80}{1.11}+\frac{80}{1.2321}+\frac{1080}{1.367631}=72.0721+64.9298+789.6867=926.6886$

   今度は $938$ より下になった。解は $10\%$ と $11\%$ の間に閉じ込められた。

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   線形補間してから精度を上げる。 2つの価格の間で線形補間すると、最初の推定値は

   $y\approx 0.10+0.01\cdot\frac{950.2630-938}{950.2630-926.6886}=0.10+0.01\cdot\frac{12.2630}{23.5744}=0.1052$

   となる。$f(x)=\frac{80}{x}+\frac{80}{x^2}+\frac{1080}{x^3}-938$ にニュートン法を1〜2回適用すると

   $x=1.1051578\quad\Longrightarrow\quad y=0.1051578$

   に落ち着く。

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   債券を再度価格付けして答えを検算する。 $y=10.51578\%$ とすると：

   $\frac{80}{1.1051578}+\frac{80}{1.1051578^2}+\frac{1080}{1.1051578^3}=72.3879+65.5000+800.1121=938.00$

   価格がセント単位まで再現されるので $y\approx 10.52\%$ である。なお $10.3\%$ のような丸めた推定では価格が約 $943.1$ となり、5ドル以上高くなってしまう。挟み込みの手順が大事なのはこのためで、見た目が近いだけの最初の推定で止めてはいけない。