Mg2+ イオンと S2- イオンの間の引力は 1.49 × 10^-8 N である。陰イオンの半径は 0.184 nm、陽イオンの半径は 0.065 nm である。ボルン指数を n = 8 として、2つのイオンがちょうど接しているときの正味のポテンシャルエネルギーを求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   接しているときの距離を求める。 「ちょうど接している」とは中心間の距離がイオン半径の和に等しいということで、これは平衡距離 $r_0$ でもある：

   $r_0=0.065+0.184=0.249\ \mathrm{nm}=2.49\times 10^{-10}\ \mathrm{m}.$

2. 2

   与えられた力から引力の定数を取り出す。 クーロン引力は $F=\dfrac{A}{r^2}$ の形をしており、$A=\dfrac{k\,|z_1 z_2|e^2}{1}$ が電荷に関する定数をすべてまとめている。それらを調べる代わりに、測定された力から $A$ を直接読み取る：

   $A=F r_0^{2}=\left(1.49\times 10^{-8}\right)\left(2.49\times 10^{-10}\right)^{2}=9.24\times 10^{-28}\ \mathrm{J\cdot m}.$

3. 3

   正味エネルギーについてボルンのモデルを書く。 引力と近距離の斥力は次のように組み合わさる：

   $E_{\text{net}}=-\frac{A}{r}+\frac{B}{r^{n}},$

   ここで斥力の項は急激に立ち上がり（ここでは $n=8$）、イオンどうしがつぶれ合うのを防いでいる。

4. 4

   平衡条件を使って $B$ を消す。 $r=r_0$ でエネルギーは最小なので $\dfrac{dE}{dr}=0$ である：

   $\frac{A}{r_0^{2}}-\frac{nB}{r_0^{\,n+1}}=0\ \Longrightarrow\ B=\frac{A\,r_0^{\,n-1}}{n}.$

   これを代入し戻すと、2項のモデルが1つのすっきりした式に潰れる：

   $E_{\text{net}}=-\frac{A}{r_0}+\frac{A}{n r_0}=-\frac{A}{r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right).$

   $B$ を計算する必要が一度もないのはこのためである。平衡では、斥力がつねに引力のうち $1/n$ の分だけを打ち消す。

5. 5

   数値を入れる。 $n=8$ なので括弧の中は $\tfrac78$ である：

   $\frac{A}{r_0}=\frac{9.24\times 10^{-28}}{2.49\times 10^{-10}}=3.71\times 10^{-18}\ \mathrm{J},\qquad E_{\text{net}}=-\frac{7}{8}\left(3.71\times 10^{-18}\right)\approx -3.25\times 10^{-18}\ \mathrm{J}.$

   負の符号は、束縛された安定なイオン対であることを示している。

6. 6

   与えられた力をクーロンの法則で検算する。 $z_1=+2$、$z_2=-2$、$k=8.988\times 10^{9}$、$e=1.602\times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ とすると：

   $F=\frac{k\,(2e)(2e)}{r_0^{2}}=1.488\times 10^{-8}\ \mathrm{N},$

   となり、与えられた $1.49\times 10^{-8}\ \mathrm{N}$ と一致するので、データに矛盾はない。