3 桁の暗証番号は各位の数字がすべて異なり、1 桁目は 2 桁目より 2 大きく、3 つの数字の和は 10 である。正しいのは 7-2-1、4-2-4、1-3-6、5-3-2 のどれか。

Step-by-step solution

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   3 つの条件を検査項目として書き出す。 各位を $d_1d_2d_3$ とすると

   $\text{(i) すべて異なる},\qquad \text{(ii) } d_1=d_2+2,\qquad \text{(iii) } d_1+d_2+d_3=10.$

   である。候補が 4 つ示されているので、一から解くより、それぞれを 3 つの短い検査にかけるほうが速い。

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   最も手軽な検査から適用する——すべて異なるか。 選択肢 B は $4$-$2$-$4$ で、数字 $4$ が重複している。計算するまでもなく直ちに除外される。

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   残りに 1 桁目の規則を当てる。

   $\text{A: }7\overset{?}{=}2+2=4\ \text{✗},\qquad \text{C: }1\overset{?}{=}3+2=5\ \text{✗},\qquad \text{D: }5\overset{?}{=}3+2=5\ \text{✓}.$

   A と C が除外される。なお A、C、D はいずれも各位の和が $10$ になっているので、条件 (iii) だけでは区別できなかった——そこがこの出題の仕掛けである。

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   残った候補を 3 条件すべてで確認する。 $5$-$3$-$2$ については、数字 $5,3,2$ はすべて異なる ✓、$5=3+2$ ✓、$5+3+2=10$ ✓ である。

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   直接解いて、どの選択肢が残るかを見る。 (ii) より $d_2=d_1-2$ で、これを (iii) に代入すると $d_3=12-2d_1$ となる。$0\le d_3\le 9$ を要求すると $d_1\in\{2,\ldots,6\}$ に絞られ、すべて異なるという条件で除かれるのは $d_1=4$（$d_3=4=d_1$ となる）だけである。残る正当な暗証番号は $208$、$316$、$532$、$640$ の 4 つで、そのうち選択肢に現れるのは D: 5-3-2 だけである。