あるバスケットボールクラブの人数は 31 人より多く 39 人より少ない。2 人ずつのペアを組むと誰も余らないが、3 人ずつの組にするとちょうど 1 人余る。人数は何人か。32、34、35、36 から選べ。

Step-by-step solution

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   それぞれの文を整除の条件に翻訳する。 人数を $n$ とすると

   $31\le n\le 39,\qquad n\equiv 0\pmod 2,\qquad n\equiv 1\pmod 3.$

2. 2

   まず 1 つ目の条件で候補を絞る。 範囲内の偶数は

   $32,\ 34,\ 36,\ 38.$

   この時点で奇数の選択肢 C（$35$）は除外される。

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   2 つ目の条件を適用する。 残った各数を $3$ で割って余りを書き出す：

   $32=3(10)+2,\quad 34=3(11)+1,\quad 36=3(12)+0,\quad 38=3(12)+2.$

   余りが $1$ になるのは $34$ だけである。

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   もとの 2 つの文で答えを検算する。 $34$ 人はちょうど $17$ 組のペアになり余りが出ない ✓、$34$ 人は 3 人組 $11$ 個と 1 人余りになる ✓。よってクラブの人数は $34$ 人、選択肢 B である。

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   背後にある一般的な構造。 2 つの条件を合わせると $n\equiv 4\pmod 6$ と言える。$n$ が偶数かつ $\equiv 1\pmod 3$ だからである。これを満たす数は $\ldots,28,34,40,\ldots$ であり、そのうち与えられた範囲に入るのは $34$ ただ 1 つ——だからこの問題の答えは一意に定まる。