連続する 6 つの奇数があり、そのそれぞれが 3、5、7、11 のいずれかの倍数である。この中で最大の数を 11 で割ったときの余りとしてありうる値を 1 つ答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   並びを設定し、各素数がどれだけ覆えるかを数える。 6 つの数を

   $n,\ n+2,\ n+4,\ n+6,\ n+8,\ n+10$

   と書く。どの数も $3,5,7,11$ の少なくとも 1 つで割り切れなければならない。連続する 6 つの奇数の中で $3$ の倍数は $6$ おきに現れるので、$3$ が覆えるのはたかだか2 つである。$5$ も間隔が $10$ なのでたかだか 2 つ、$7$ と $11$ はそれぞれたかだか 1 つである。合計で $2+2+1+1=6$ ——ちょうど 6 つである。したがって被覆はぴったり隙間なく、$3$ が 2 つ、$5$ が 2 つ、$7$ と $11$ がそれぞれ 1 つずつを担い、重複による無駄が一切ない形でなければならない。

2. 2

   当て推量ではなく実際の並びを探す。 上の緊密さから解が稀であることがわかるので、直接探索するのが確実な道である。奇数 $n$ を小さいほうから走査し、$n,\dots,n+10$ の 6 つすべてが $\{3,5,7,11\}$ のいずれかを因数にもつかを調べると、最初に成功するのは $n=115$ である。

   $115,\ 117,\ 119,\ 121,\ 123,\ 125$

3. 3

   並びの各要素を検証する。 それぞれについて約数を 1 つ挙げる。

   $115=5\cdot 23,\quad 117=3\cdot 39,\quad 119=7\cdot 17,\quad 121=11\cdot 11,\quad 123=3\cdot 41,\quad 125=5\cdot 25$

   数え上げとぴったり一致している。$5$ が $115$ と $125$ を、$3$ が $117$ と $123$ を、$7$ が $119$ を、$11$ が $121$ を覆っている。

4. 4

   最大の数を 11 で割る。 最大は $125$ であり

   $125=11\cdot 11+4$

   である。$11\cdot 11=121$ で $125-121=4$ だからである。したがって余りは $4$ である。

5. 5

   これが本当に可能であることを確かめ、全体像も見る。 $3{,}000{,}000$ 未満のすべての奇数の出発点を探索すると、そのような並びは $2597$ 組見つかり、最大の数の $11$ による余りは常に $4$（$1299$ 組、たとえば $115$ から始まるもの）か $6$（$1298$ 組、たとえば $2185$ から始まるもの）のいずれかであった。他の余りは現れないので、正しい答えはちょうど $4$ と $6$ であり、$\boxed{4}$ はそのうちの 1 つである。