X = {5, 6, …, 200} とする。X の要素のうち 2 または 5 で割り切れるものは何個か。

Step-by-step solution

1. 1

   包除原理を選び、「または」を包含的に読む。 $X$ の中の $2$ の倍数を $A$、$5$ の倍数を $B$ とする。「$2$ または $5$ で割り切れる」とは $A\cup B$ のことで

   $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

   が成り立つ。この引き算が肝心である。$10$、$20$、$30$ のような数は両方の一覧に現れるので、二重に数えてはならない。

2. 2

   2 の倍数を数える。 $\big\lfloor \tfrac{200}{2}\big\rfloor-\big\lfloor \tfrac{4}{2}\big\rfloor$ を使う——$200$ までの倍数から、$4$ までの倍数（範囲の始まりより下の数）を引く：

   $|A|=100-2=98$

   （除かれるのは $2$ と $4$ で、一覧は $6,8,\ldots,200$ となる。）

3. 3

   5 の倍数を数える。

   $|B|=\left\lfloor\frac{200}{5}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{4}{5}\right\rfloor=40-0=40$

   （一覧は $5,10,\ldots,200$ で、$5$ 自身も範囲に入っている。）

4. 4

   重なりを数える。 $2$ でも $5$ でも割り切れる数は $\operatorname{lcm}(2,5)=10$ で割り切れる：

   $|A\cap B|=\left\lfloor\frac{200}{10}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{4}{10}\right\rfloor=20-0=20$

5. 5

   公式に当てはめる。

   $|A\cup B|=98+40-20=118$

   $\boxed{118}$

6. 6

   補集合で突き合わせる。 集合 $X$ の要素は $200-5+1=196$ 個ある。連続する $10$ 個の整数のうち $10$ と互いに素なものは $4$ 個（末尾が $1,3,7,9$ のもの）である。$5$ から $200$ までには $11$–$200$ という $19$ 個の完全な十の位のまとまりがあり——より簡単に言えば、$5$ から $200$ までで末尾が $1,3,7,9$ の数は $78$ 個である（まず $7,9$ の 2 個、次に $11$–$200$ の $19$ 個のまとまりで 4 個ずつ：$2+4\times 19=78$）。よって $196-78=118$ となり、一致する。