ある公演グループの人数は 24 人以上 44 人以下である。5 人ずつの組に分けると余りが出ず、7 人ずつの組に分けると 2 人余る。人数は何人か。

Step-by-step solution

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   2 つの条件を合同式に翻訳する。 「$5$ 人ずつの列で余りなし」は人数 $n$ が $n\equiv0\pmod 5$ を満たすことを意味する。「$7$ 人ずつの列で $2$ 人余る」は $n\equiv2\pmod 7$ を意味する。これらと $24\le n\le44$ を合わせれば $n$ は完全に定まる——互いに素な法をもつ 2 つの合同式は連続する $35$ 個の整数につき解を 1 つもち、範囲の幅は $21$ だからである。

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   条件の厳しいほう、扱いやすいほうから候補を並べる。 $24$ と $44$ の間の $5$ の倍数は

   $25,\ 30,\ 35,\ 40$

   である。余りの条件ではなく割り切れる条件から始めれば候補が短くて済む——6 個ではなく 4 個を調べるだけでよい。

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   それぞれを $7$ で割って調べる。

   $25=7\cdot3+4,\qquad 30=7\cdot4+2\ \checkmark,\qquad 35=7\cdot5+0,\qquad 40=7\cdot5+5$

   余りが $2$ になるのは $30$ だけである。

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   一意性を確認する。 中国剰余定理により、$n\equiv0\pmod5$ かつ $n\equiv2\pmod7$ の組は法 $35$ で解をただ 1 つもち、それは $n\equiv30\pmod{35}$ である。次の候補は $30-35=-5$ と $30+35=65$ で、どちらも $[24,44]$ の外にあるので、$30$ が唯一の答えである。

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   もとの文面と照合する。 $30\div5=6$ でちょうど 6 列、余る人はいない ✓。$30\div7=4$ で 7 人の列が 4 つ、$30-28=2$ 人が余る ✓。どちらの条件も満たし、$30$ は与えられた範囲に入るので、答えは選択肢 A である。