4 桁の 5 の倍数の各位を逆順に並べて別の 4 桁の数を作る。もとの数から後の数を引くと 1359 になる。そのようなもとの数を 1 つ求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   両方の数を位取りの形で書く。 もとの数を $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$ とすると、逆順の数は $\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a$ である。引くと、

   $N-N_{\text{rev}}=999(a-d)+90(b-c).$

   この型の問題はすべて、この 1 つの恒等式に帰着する。

2. 2

   一の位を確定する。 $N$ は $5$ の倍数なので $d\in\{0,5\}$ である。しかし逆順の数も4 桁でなければならないので、その先頭の桁 $d$ が $0$ になることはない。したがって

   $d=5.$

   である。

3. 3

   恒等式を桁の差について解く。 $999(a-d)+90(b-c)=1359$ が必要である。$a-d=1$ とすると $90(b-c)=1359-999=360$ すなわち $b-c=4$ となり、桁の差として成立する。$a-d=2$ とすると $90(b-c)=1359-1998=-639$ となり $90$ の倍数ではない。これより大きい値ではさらに行き過ぎる。したがって $a-d=1$、$b-c=4$ が確定する。

4. 4

   桁を組み立てる。 $d=5$、$a=d+1=6$ であり、$b-c=4$ で両方の桁が $0..9$ にあることから、可能なのは $(b,c)=(4,0),(5,1),(6,2),(7,3),(8,4),(9,5)$ である：

   $6405,\ 6515,\ 6625,\ 6735,\ 6845,\ 6955.$

5. 5

   1 つ検算し、規則性を確認する。 $6405-5046=1359$ ✓、$6955-5596=1359$ ✓ である。4 桁の $5$ の倍数を総当たりで調べても、この 6 つが解のすべてであることが確かめられる。どれを答えにしてもよい。