100000 × 32 を (4 ln 2 + 3) で割った値を超えない最大の整数を求めよ。

Step-by-step solution

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   この記号を床関数として読む。 この記法で $[\,\cdot\,]$ は値を超えない最大の整数を表すので、やるべきことは商を計算して下向きに切り捨てることである。難しさは整数部分を正しく決めるところに集約されており、そのためには商が整数にどれだけ近いかを知る必要がある。

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   分子をまとめる。 $100000\times32=3{,}200{,}000$ なので、求めるのは

   $\left\lfloor\frac{3{,}200{,}000}{4\ln 2+3}\right\rfloor$

   である。

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   分母を十分な精度で計算する。 $\ln 2=0.69314718055994531$ とすると、

   $4\ln 2=2.77258872223978124,\qquad 4\ln2+3=5.77258872223978124$

   となる。$\ln2$ を小数第 3 位で打ち切ると商はおよそ $\pm 60$ ずれてしまい、床を決めるにはあまりに粗い。10 桁以上が必要になるのはこのためである。

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   割る。

   $\frac{3{,}200{,}000}{5.77258872223978124}=554{,}344.0134010431$

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   床をとり、余裕を確認する。 小数部分は $0.0134$ なので床は $554{,}344$ である。この結果は本当に境界の近くにある。掛け戻すと $554{,}344\times5.77258872224=3{,}199{,}999.923$ となって $3{,}200{,}000$ をわずかに下回り、$554{,}345\times5.77258872224=3{,}200{,}005.70$ では行き過ぎる ✓。したがって $554{,}344$ が正しく、$554{,}345$ は誤りである。