2 の平方根に、7 の平方根と 6 倍した 72 の平方根の和を掛けた式を展開して簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   外側の根号を両方の項に分配する。 $\sqrt2\left(\sqrt7+6\sqrt{72}\right) = \sqrt2\cdot\sqrt7 + \sqrt2\cdot6\sqrt{72}.$ 係数 $6$ はそのまま持ち越されるだけで、まとまるのは根号どうしである。

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   1 組目の根号を掛ける。 非負の $a,b$ に対する $\sqrt a\,\sqrt b = \sqrt{ab}$ を使って $\sqrt2\cdot\sqrt7 = \sqrt{14}.$ $14 = 2\cdot7$ は平方因数をもたないので、$\sqrt{14}$ はすでに最も簡単な形である。

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   2 組目を掛ける——ここで有理数になる。 $\sqrt2\cdot\sqrt{72} = \sqrt{144} = 12,$ となる。$2\cdot72 = 144$ が平方数だからである。ここがこの問題の眼目で、一方の項は無理数のまま、もう一方はそうならない。

4. 4

   係数を掛ける。 $6 \cdot 12 = 72$ なので、第 2 項は整数 $72$ である。

5. 5

   答えを組み立てる。 $\sqrt2\left(\sqrt7+6\sqrt{72}\right) = \sqrt{14}+72 = 72+\sqrt{14}.$ 2 つの項は同類ではない（一方は有理数、他方は無理数）ので、これ以上まとめることはできない。

6. 6

   数値で検算する。 $\sqrt2 \approx 1.414214$、$\sqrt7 \approx 2.645751$、$\sqrt{72} \approx 8.485281$ なので、もとの式は $1.414214(2.645751+50.911688) \approx 75.741657$ となる。一方 $72+\sqrt{14} \approx 72+3.741657 = 75.741657$ であり、一致する。

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   別の道筋にも触れておく。 先に $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ と簡単にしておけば、第 2 項は $\sqrt2\cdot36\sqrt2 = 36\cdot2 = 72$ となる。同じ結果がさらに少ない計算で得られる。