(216 × 6⁻⁵)³ × (36⁻²)⁻¹ を計算せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   現れる数をすべて同じ底のべきに書き直す。 関係するどの数も $6$ のべきである：

   $216=6^{3},\qquad 36=6^{2}$

   底がそろってしまえば、あとは指数の計算だけになる——大きな数を計算する必要はどこにもない。

2. 2

   1 つ目のかっこの中を整理する。 べきどうしの掛け算は指数を足す：

   $216\cdot 6^{-5}=6^{3}\cdot 6^{-5}=6^{3-5}=6^{-2}$

3. 3

   3 乗する。 累乗の累乗は指数を掛ける：

   $\left(6^{-2}\right)^{3}=6^{-6}$

4. 4

   2 つ目の因子を整理する。 入れ子の指数はやはり掛け算になり、2 つの負号は正になる：

   $\left(36^{-2}\right)^{-1}=36^{2}=\left(6^{2}\right)^{2}=6^{4}$

5. 5

   2 つの結果を掛ける。

   $6^{-6}\cdot 6^{4}=6^{-2}=\frac{1}{6^{2}}=\frac{1}{36}$

   $\boxed{\dfrac{1}{36}}$

6. 6

   数値で確認する。 $216\cdot 6^{-5}=\tfrac{216}{7776}=\tfrac{1}{36}$、これを 3 乗すると $\tfrac{1}{46656}$、そして $\left(36^{-2}\right)^{-1}=1296$ である。よって $\tfrac{1296}{46656}=\tfrac{1}{36}$ ✓ ——同じ答えだが途中の数がはるかに大きい。底をそろえる道のほうが望ましいのは、まさにそのためである。