U を全体集合、A, B, C を U の部分集合とする。次のうち正しいのはどれか。(1) A − (B ∪ C) = (A − B) ∪ (A − C)、(2) (A ∩ B) − C = (A − C) ∩ (B − C)、(3) A − (B − C) = A ∩ (B' ∩ C')、(4) (A ∪ B) − C = A ∪ (B − C)。

Step-by-step solution

1. 1

   差をすべて補集合との共通部分に書き換える。 $X-Y=X\cap Y'$ というただ 1 つの規則で、4 つの主張はすべて共通部分・和集合・補集合だけの代数に変わり、ド・モルガンの法則を機械的に適用できるようになる。ベン図から目分量で当てるのは誤りやすいが、この書き換えは誤りようがない。

2. 2

   主張 1 を調べる。 左辺は $A-(B\cup C)=A\cap(B\cup C)'=A\cap B'\cap C'$、右辺は $(A\cap B')\cup(A\cap C')=A\cap(B'\cup C')$ である。これらは異なる——$A$ に属し $B$ には属するが $C$ には属さない元は、右辺には入るが左辺には入らない。偽。（正しい形は $A-(B\cap C)=(A-B)\cup(A-C)$ である。）

3. 3

   主張 2 を調べる。 左辺は $(A\cap B)-C=(A\cap B)\cap C'=A\cap B\cap C'$、右辺は冪等律 $C'\cap C'=C'$ を使って $(A\cap C')\cap(B\cap C')=A\cap B\cap C'\cap C'=A\cap B\cap C'$ となる。両辺は同一である。真。

4. 4

   主張 3 を調べる。 左辺は $A-(B-C)=A\cap(B\cap C')'=A\cap(B'\cup C)$ である。主張されている右辺は $A\cap B'\cap C'$ である。$x\in A\cap B\cap C$ をとると、$x\in C$ なので $x$ は左辺に入るが、$x\in B$ かつ $x\in C$ なので右辺には入らない。偽。

5. 5

   主張 4 を調べる。 左辺は $(A\cup B)\cap C'=(A\cap C')\cup(B\cap C')$、右辺は $A\cup(B\cap C')$ である。$x\in A\cap C$ となる元は右辺には入るが左辺には入らない。左辺は $A$ の内部にある部分も含めて $C$ を すべて 取り除くからである。偽。

6. 6

   結論する。

   $\boxed{\text{正しいのは主張 2 だけ}}$

   具体的な反例が偽の 3 つを一度に片づける：$U=\{1,2,3\}$、$A=\{1,2,3\}$、$B=\{1\}$、$C=\{2\}$ とする。すると主張 1 は $\{3\}=\{1,2,3\}$、主張 3 は $\{2,3\}=\{3\}$、主張 4 は $\{1,3\}=\{1,2,3\}$ となっていずれも偽であるのに対し、主張 2 は $\{1\}=\{1\}$ となる。