分数 (2 − 3x)/(x(x − 1)) が正になるのは x がどのような値のときか。

Step-by-step solution

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   符号が変わりうる点をすべて求める。 それは分子と分母の零点である。

   $2-3x=0\Rightarrow x=\tfrac23;\qquad x=0;\qquad x-1=0\Rightarrow x=1$

   これらが数直線を $(-\infty,0)$、$\left(0,\tfrac23\right)$、$\left(\tfrac23,1\right)$、$(1,\infty)$ の 4 つの区間に分ける。

2. 2

   区間 x < 0 を調べる（$x=-1$ をとる）。分子は $2-3(-1)=5>0$、分母は $(-1)(-2)=2>0$（負×負）。分数は正である ✓。

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   0 < x < 2/3 を調べる（$x=0.5$ をとる）。分子は $2-1.5=0.5>0$、分母は $(0.5)(-0.5)=-0.25<0$。分数は負である ✗。

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   2/3 < x < 1 を調べる（$x=0.8$ をとる）。分子は $2-2.4=-0.4<0$、分母は $(0.8)(-0.2)=-0.16<0$。負を負で割るので正である ✓。

5. 5

   x > 1 を調べる（$x=2$ をとる）。分子は $2-6=-4<0$、分母は $(2)(1)=2>0$。分数は負である ✗。

6. 6

   正となる区間をまとめる。 3 つの臨界点はいずれも除外される——$x=\tfrac23$ では分数が 0 になり（正ではない）、$x=0,1$ では定義されない。

   $\boxed{\{x<0\}\cup\left\{\tfrac23<x<1\right\}}$

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   符号が交互に変わる規則で照合する。 3 つの因子はすべて単純（奇数重複度）なので、符号は各臨界点で必ず入れ替わる。左から右へ読むと $+,-,+,-$ となり、4 つの代入値が与えた結果とちょうど一致する。どの区間も符号を取り違えていないことが確かめられる。