ある列車は 2 つの都市の間を 10 時間で走る予定だった。最初の 9 時間は予定の速さで走ったが、そこから速さを 7 km/h 下げたため 6 分遅れて到着した。列車のもとの速さを求めよ。

Step-by-step solution

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   未知数を速さに取り、距離をそれで表す。 もとの速さを $v$ km/h とする。予定は速さ $v$ で $10$ 時間だったので、全体の距離は

   $S=10v$

   $S$ ではなく $v$ を未知数に選ぶことで式が扱いやすくなる——距離はひとりでに消えてくれる。

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   行程を 2 つの区間に分ける。 最初の $9$ 時間で列車は $9v$ km 進むので、残りの距離は

   $10v-9v=v\ \text{km}$

   これがこの置き方のうまいところで、残りの区間の長さが速さと数値的に等しくなる。

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   遅れを式にする。 残りの区間は $v-7$ km/h で走るので、かかる時間は $\dfrac{v}{v-7}$ 時間である。6 分は $\tfrac{6}{60}=\tfrac{1}{10}$ 時間なので、実際の所要時間は $10+\tfrac1{10}=\tfrac{101}{10}$ 時間となる。

   $9+\frac{v}{v-7}=\frac{101}{10}$

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   得られた分数方程式を解く。 両辺から $9$ を引く。

   $\frac{v}{v-7}=\frac{101}{10}-\frac{90}{10}=\frac{11}{10}$

   たすきに掛けて $10v=11(v-7)=11v-77$、よって $v=77$ km/h。$v=7$ は下げた後の速さが 0 になるため除外される。

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   問題文に照らして確かめる。 距離 $=10\cdot77=770$ km。最初の $9$ 時間で $693$ km 進み、残り $77$ km を $77-7=70$ km/h で走るので $77/70=1.1$ 時間 $=1$ 時間 $6$ 分かかる。合計 $9+1.1=10.1$ 時間、すなわち予定の $10$ 時間よりちょうど $6$ 分遅い ✓。