連立方程式 x² + y = 2, −x² + y = 10 を解け。

Step-by-step solution

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   この連立が狙っている消去法を見抜く。 2 つの式には $+x^{2}$ と $-x^{2}$ が含まれているので、単に足すだけで $x$ が完全に消える——代入も 2 乗も必要ない。

2. 2

   2 式を足す。

   $(x^{2}+y)+(-x^{2}+y)=2+10\quad\Longrightarrow\quad 2y=12\quad\Longrightarrow\quad y=6$

3. 3

   y = 6 をどちらかの式に戻す。 1 つ目を使うと

   $x^{2}+6=2\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=-4$

   となる。

4. 4

   成り立ちようのない式を読み解く。 実数の 2 乗は $\ge 0$ なので、$x^{2}=-4$ に実数解は存在しない。$y$ は $6$ に確定していたので、両方の式を満たす実数の組 $(x,y)$ は存在しない。

   $\boxed{\text{実数解なし}}$

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   2 つ目の式と図形の両方で確認する。 $y=6$ を $-x^{2}+y=10$ に代入すると $-x^{2}=4$、すなわちふたたび $x^{2}=-4$ ——同じ矛盾なので、計算違いは起きていない。図形的には、$y=2-x^{2}$ は頂点 $(0,2)$ の上に凸の放物線、$y=10+x^{2}$ は頂点 $(0,10)$ の下に凸の放物線である。前者は $y=2$ より上に出ず、後者は $y=10$ より下に落ちないので、2 つのグラフは交わり得ない。

6. 6

   問題が許すなら複素数解にも触れる。 複素数の範囲では $x^{2}=-4$ から $x=\pm 2i$ が得られるので、組 $(2i,6)$ と $(-2i,6)$ は両方の式を満たす。$(4,-14)$、$(-4,-14)$、$(0,2)$ といった選択肢はどちらの式も満たさないので、代入すれば直ちに退けられる。