x = 1/(√5 − 2)、y = 1/(√5 + 2) のとき、(1) x + y と xy、(2) x² + y² を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず両方の分母を有理化する。 共役な数を掛ければ、どちらの分母も $\left(\sqrt5\right)^{2}-2^{2}=1$ になる。

   $x=\frac{1}{\sqrt5-2}\cdot\frac{\sqrt5+2}{\sqrt5+2}=\sqrt5+2,\qquad y=\frac{1}{\sqrt5+2}\cdot\frac{\sqrt5-2}{\sqrt5-2}=\sqrt5-2$

   分母がどちらもちょうど $1$ になることが、この数がこれほどきれいになる理由である。

2. 2

   (1) 和を計算する。 $\pm 2$ が打ち消し合う。

   $x+y=\left(\sqrt5+2\right)+\left(\sqrt5-2\right)=2\sqrt5$

3. 3

   積を計算する。 これは平方の差である。

   $xy=\left(\sqrt5+2\right)\left(\sqrt5-2\right)=5-4=1$

   $x$ と $y$ が互いに逆数であることに注意したい——元の定義からも直接見て取れる。

4. 4

   (2) 各項を 2 乗するのではなく対称式の恒等式を使う。

   $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$

   これで無理数の 2 乗を 2 回展開する手間が省ける。先に $x+y$ と $xy$ を求めたのは、まさにこのためである。

5. 5

   代入する。

   $x^{2}+y^{2}=\left(2\sqrt5\right)^{2}-2(1)=20-2=18$

   $\boxed{x+y=2\sqrt5,\quad xy=1,\quad x^{2}+y^{2}=18}$

6. 6

   直接計算で確かめる。 $x=4.23607$、$y=0.23607$ とすると $x+y=4.47214=2\sqrt5$ ✓、$xy=1.00000$ ✓、$x^{2}+y^{2}=17.9443+0.0557=18.000$ ✓。同様に恒等式 $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)$ を使えば $\left(2\sqrt5\right)^{3}-3\left(2\sqrt5\right)=40\sqrt5-6\sqrt5=34\sqrt5$ となる。