(2√2 − √3)/(√3 + √2) の分母を有理化せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分母に共役な式を見つける。 分母が $\sqrt a+\sqrt b$ のとき共役な式は $\sqrt a-\sqrt b$ である。積が有理数 $a-b$ になるからである。ここでは $\sqrt3+\sqrt2$ に共役なのは $\sqrt3-\sqrt2$ である。

2. 2

   分子と分母にその共役な式を掛ける。

   $\frac{2\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt3+\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}$

3. 3

   先に分母を簡単にする。こちらが易しい半分である。

   $\left(\sqrt3+\sqrt2\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)=3-2=1$

   分母が $1$ ということは、答え全体が展開した分子そのものになるということである。

4. 4

   分子を展開する。

   $\left(2\sqrt2-\sqrt3\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)=2\sqrt6-2\cdot 2-3+\sqrt6=2\sqrt6-4-3+\sqrt6$

   ここで $\sqrt2\cdot\sqrt3=\sqrt6$、$\sqrt2\cdot\sqrt2=2$、$\sqrt3\cdot\sqrt3=3$ を使った。

5. 5

   同類項をまとめる。

   $3\sqrt6-7$

   $\boxed{3\sqrt6-7}$

6. 6

   数値で確かめる。 $\sqrt2=1.41421$、$\sqrt3=1.73205$ とすると、もとの式は $\dfrac{2.82843-1.73205}{1.73205+1.41421}=\dfrac{1.09637}{3.14626}=0.34847$ であり、$3\sqrt6-7=3(2.44949)-7=7.34847-7=0.34847$ となる ✓。