(x^2 - 5x)√(4 + 3x - x^2) = 0 を解き、その解の総和を答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   何かを解く前に定義域を求める。 根号の中は非負でなければならない。$4+3x-x^{2}\ge 0$、すなわち $x^{2}-3x-4\le 0$、すなわち $(x-4)(x+1)\le 0$ なので $x\in[-1,4].$ この区間の外にある候補は、計算上どう出てこようと元の方程式の解ではない。

2. 2

   積が 0 になる条件を使う。 積が 0 になるのはいずれかの因数が 0 のときちょうどなので、$x^{2}-5x=0$ または $\sqrt{4+3x-x^{2}}=0$ である。

3. 3

   多項式の因数を解き、定義域でふるいにかける。 $x^{2}-5x=x(x-5)=0$ から $x=0$ または $x=5$ が得られる。$5\notin[-1,4]$ なので残るのは $x=0$ だけである。$x=5$ では根号の中が $4+15-25=-6<0$ になってしまう。

4. 4

   根号の因数を解く。 平方根が 0 になるのは、中身が 0 のときちょうどである。$4+3x-x^{2}=0$、すなわち $x^{2}-3x-4=0$、すなわち $(x-4)(x+1)=0$ なので $x=4$ と $x=-1$ が得られる。どちらも定義域の端点なので、両方とも認められる。

5. 5

   まとめて足す。 解集合は $\{-1,0,4\}$ で、求める総和は $-1+0+4=3$ である。それぞれを代入し戻すと $6\cdot\sqrt{0}$、$0\cdot 2$、$-4\cdot 0$ となりすべて 0 なので、3 つとも真の解である。