(x^2 + 4x - 12)√(x + 5) = 0 を解き、その解の総和を答えよ。

Step-by-step solution

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   まず定義域を定める。 根号があるので $x+5\ge 0$、すなわち $x\ge -5$ が必要である。この制約こそが、この問題を単なる因数分解以上のものにしている。二次式の解の 1 つがこの外に出るからである。

2. 2

   積を 2 つの場合に分ける。 積が 0 になるのは $x^{2}+4x-12=0$ のとき、または $\sqrt{x+5}=0$ のときである。

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   二次の因数を解く。 判別式は $D=4^{2}-4(1)(-12)=16+48=64$ なので $x=\frac{-4\pm 8}{2},$ すなわち $x_1=2$、$x_2=-6$ である。$-6<-5$ なので $x=-6$ は定義域の外にあり、棄却しなければならない。残るのは $x=2$ だけである。

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   根号の因数を解く。 $\sqrt{x+5}=0$ からは $x+5=0$、すなわち $x=-5$ が導かれる。これはちょうど定義域の左端なので、解として認められる。

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   残った解を足す。 解集合は $\{-5,2\}$ なので総和は $-5+2=-3$ である。検算すると、$x=2$ では二次の因数が $4+8-12=0$、$x=-5$ では根号が $0$ となり、どちらも積を 0 にする。