3 つの三角形の 9 つの角が n1, n2, ..., n9 度であり、正の公差を持つ等差数列をなす正の整数である。角の 1 つが 78 度のとき、n1 の取りうる値の総和を求めよ。

Step-by-step solution

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   角の総和から中央の項を突き止める。 3 つの三角形の角の和は $3\times 180=540$ 度である。9 項の等差数列では、和は中央の項の 9 倍になる。

   $\sum_{i=1}^{9}n_i=9n_5=540\quad\Longrightarrow\quad n_5=60.$

   したがって $d$ が何であれ、数列は $60$ を中心に $n_i=60+(i-5)d$ と書ける。

2. 2

   78 度という条件を整除の条件に変える。 $n_k=78$ とすると

   $60+(k-5)d=78\quad\Longrightarrow\quad (k-5)d=18.$

   となる。$d>0$ なので $k>5$ が必要で、$k-5\in\{1,2,3,4\}$ かつ $d=\dfrac{18}{k-5}$ が正の整数でなければならない。$18$ を割り切るのは $k-5=1,2,3$ だけなので

   $d=18,\ 9,\ 6.$

   となる。

3. 3

   角が正でなくなる場合を除く。 初項は $n_1=60-4d$ である。

   $d=18\Rightarrow n_1=-12\ (\text{不適}),\qquad d=9\Rightarrow n_1=24,\qquad d=6\Rightarrow n_1=36.$

   最大の項は $n_9=60+4d$、すなわち $96$ と $84$ で、どちらも $180$ 未満なので、すべての角が三角形の角として成立する。

4. 4

   9 つの角が本当に 3 つの三角形をなせることを確認する。 $n_i=60+(i-5)d$ と書けば、ずれは $-4,-3,\ldots,4$ である。これを $\{-4,0,4\}$、$\{-3,1,2\}$、$\{-2,-1,3\}$ と分ければ各組のずれの和が 0 になるので、各組の 3 つの角の和は $3\times 60=180$ になる。この分け方はどの $d$ に対しても存在するので、この条件から新たな制約は生じない。

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   残った 2 つの数列を確かめる。

   $d=6:\ 36,42,48,54,60,66,72,\mathbf{78},84$
   $d=9:\ 24,33,42,51,60,69,\mathbf{78},87,96$

   どちらも $78$ を含み、狭義単調増加で、正の整数からなる。

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   初項の候補を足す。

   $24+36=60.$

   許される公差をすべて総当たりで探索しても、この 2 つの場合しかないことが確認できる。