(−2x³y² + 4x²y³ − 3xy⁴) − (6x⁴y − 5x²y³ − y⁵) を計算せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   マイナスを 2 つ目のかっこ全体に分配する。 引き算は中のすべての項の符号を反転させる。すでに負になっている項も例外ではない。

   $-(6x^4y - 5x^2y^3 - y^5) = -6x^4y + 5x^2y^3 + y^5$

   最初の項だけ符号を変えるのがよくある誤りで、正しい項の代わりに $-x^2y^3 - y^5$ を生んでしまう。

2. 2

   かっこを外した式を全部書き下す。

   $-2x^3y^2 + 4x^2y^3 - 3xy^4 - 6x^4y + 5x^2y^3 + y^5$

3. 3

   どれが本当に同類項かを見きわめる。 2 変数では、両方の指数が一致するときにだけ項をまとめられる。単項式 $x^4y$、$x^3y^2$、$x^2y^3$、$xy^4$、$y^5$ を見比べると、重複しているのは 2 回現れる $x^2y^3$ だけである。他の項はすべて 1 つずつしかない。

4. 4

   一致した 1 組だけをまとめる。

   $4x^2y^3 + 5x^2y^3 = 9x^2y^3$

   係数が $+9$ になるのは、引き算の段階ですでに $-5x^2y^3$ が $+5x^2y^3$ に変わっているからである。

5. 5

   結果を x の次数の順に並べる。 残った項を $x$ の高い冪から順に集めると

   $-6x^4y - 2x^3y^2 + 9x^2y^3 - 3xy^4 + y^5$

   となる。どの項も総次数が $5$ であり、この種の同次式では有用な整合性の確認になる。

6. 6

   数値を代入して検算する。 $x = 2$、$y = 1$ とすると、元の式は $(-16 + 16 - 6) - (96 - 20 - 1) = -6 - 75 = -81$、答えの式は $-96 - 16 + 36 - 6 + 1 = -81$ となる。両者が一致するので、5 つの係数すべてが裏づけられる。