計算して簡単にせよ：(6x + 5)/(x^2 - 8x + 12) - 6/(x - 2)。

Step-by-step solution

1. 1

   まずすべての分母を因数分解する。 因数分解する前に共通分母を探してはいけない——ここがそうであるように、2 つ目の分母はたいてい 1 つ目の分母の因数になっている。

   $x^{2}-8x+12=(x-2)(x-6),$

   $(-2)+(-6)=-8$、$(-2)(-6)=12$ だからである。

2. 2

   最小公倍の分母を読み取る。 分母は $(x-2)(x-6)$ と $(x-2)$ なので、最小公倍の分母はそのまま $(x-2)(x-6)$ ——1 つ目の分母がすでにそれである。組み立て直す必要があるのは 2 つ目の分数だけで、足りない因数 $(x-6)$ を掛ける。

   $\frac{6}{x-2}=\frac{6(x-6)}{(x-2)(x-6)}.$

3. 3

   共通分母のもとで引き算する。かっこは外さない。

   $\frac{6x+5}{(x-2)(x-6)}-\frac{6(x-6)}{(x-2)(x-6)}=\frac{(6x+5)-6(x-6)}{(x-2)(x-6)}.$

4. 4

   分子を慎重に展開する。 マイナスの符号は $6(x-6)$ の両方の項に掛かる。

   $(6x+5)-(6x-36)=6x+5-6x+36=41.$

   $6x$ どうしが打ち消し合い、純粋な定数だけが残る——この問題がそうなるように作られていることの強い示唆である。

5. 5

   簡単にした結果と定義域の制約を書く。

   $\frac{41}{(x-2)(x-6)}=\frac{41}{x^{2}-8x+12},\qquad x\neq 2,\ x\neq 6.$

   $41$ は素数でどちらのかっことも共通因数を持たないので、これで完全に簡単になっている。

6. 6

   値を代入して確かめる。 $x=3$ では元の式が $\frac{23}{9-24+12}-\frac{6}{1}=\frac{23}{-3}-6=-\frac{41}{3}$、答えの式が $\frac{41}{(1)(-3)}=-\frac{41}{3}$ で、一致する。