x^√(log x) = 10^125 を解け。ただし log は常用対数とする。

Step-by-step solution

1. 1

   両辺が 10 の累乗になるように置き換える。 厄介なのは $x$ が底にも指数の中にも現れていることである。そこで

   $y=\log x\quad\Longleftrightarrow\quad x=10^{y}$

   と置けば、底は $10$ の累乗に、指数は $\sqrt{y}$ に変わり、右辺と同じ形にそろう。

2. 2

   置き換えた式を書き、累乗の累乗の法則を使う。

   $\left(10^{y}\right)^{\sqrt{y}}=10^{125}\quad\Longrightarrow\quad 10^{\,y\sqrt{y}}=10^{125}$

3. 3

   指数どうしを等しいとおく。 $t\mapsto 10^{t}$ は 1 対 1 なので、指数は等しくなければならない。

   $y\sqrt{y}=125\quad\Longrightarrow\quad y^{3/2}=125$

   $y\sqrt y=y^{1}\cdot y^{1/2}=y^{3/2}$ であること、そして $\sqrt{\log x}$ が実数であるためには $y\ge0$ が必要であることに注意する。

4. 4

   分数の指数の方程式を解く。 $\tfrac32$ の逆数である $\tfrac23$ 乗を両辺にとる。

   $y=125^{2/3}=\left(5^{3}\right)^{2/3}=5^{2}=25$

5. 5

   置き換えを戻す。 $y=\log x=25$ より

   $x=10^{25}$

   となる。

6. 6

   元の方程式で答えを確かめる。 $x=10^{25}$ のとき $\log x=25$、$\sqrt{\log x}=5$ なので、左辺は $\left(10^{25}\right)^{5}=10^{125}$ ——右辺とちょうど一致する。指数の計算 $25\times5=125$ がこの検算のすべてである。