7(x + 1/x) − 2(x² + 1/x²) = 9 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   逆数に関する対称性を見抜く。 この方程式は $x$ を $\tfrac1x$ に置き換えても変わらない。これは次の置き換えを行えという合図である。

   $t=x+\frac1x$

   なお $x=0$ は最初から定義域から除かれている。

2. 2

   2 つ目のかっこを t で表す。 置き換えた式を 2 乗すると

   $t^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$

   となる。$+2$ を生む交差項こそが、最も落としやすい部分である。

3. 3

   書き換えて整理する。

   $7t-2\left(t^{2}-2\right)=9\ \Longrightarrow\ 7t-2t^{2}+4=9\ \Longrightarrow\ 2t^{2}-7t+5=0$

4. 4

   t について解く。

   $(2t-5)(t-1)=0\quad\Longrightarrow\quad t=\frac52\ \text{または}\ t=1$

5. 5

   それぞれの t を x に戻す。 $t=\tfrac52$ のとき

   $x+\frac1x=\frac52\ \Longrightarrow\ 2x^{2}-5x+2=0\ \Longrightarrow\ (2x-1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=\tfrac12\ \text{または}\ x=2$

   $t=1$ のとき

   $x+\frac1x=1\ \Longrightarrow\ x^{2}-x+1=0$

   となり、判別式は $1-4=-3<0$ なので実数解を持たない。この棄却は必然である。実数 $x\neq 0$ に対して $x+\tfrac1x$ は常に $|t|\ge 2$ を満たすので、$t=1$ はそれに反するからである。

   $\boxed{x=2\ \text{または}\ x=\tfrac12}$

6. 6

   2 つの解を検算する。 $x=2$ のとき $x+\tfrac1x=2.5$、$x^{2}+\tfrac{1}{x^{2}}=4.25$ なので $7(2.5)-2(4.25)=17.5-8.5=9$ ✓。$x=\tfrac12$ でもこの 2 つの量は同じ値をとる（逆数についての対称性による）ので、まったく同様に成り立つ ✓。