(x − 2x/(x + 2))² + 4x²/(x + 2) = 5 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まずかっこを簡約する——これが全体の急所である。 2 つの項を共通分母 $x+2$ の上にまとめると：

   $x-\frac{2x}{x+2}=\frac{x(x+2)-2x}{x+2}=\frac{x^{2}+2x-2x}{x+2}=\frac{x^{2}}{x+2}$

   つまり、この面倒なかっこは $\dfrac{x^{2}}{x+2}$ にすぎない。

2. 2

   置換を導入する。

   $y=\frac{x^{2}}{x+2}$

   と置くと、第 2 項は $\dfrac{4x^{2}}{x+2}=4y$ となり、方程式はただの 2 次方程式になる：

   $y^{2}+4y=5\quad\Longrightarrow\quad y^{2}+4y-5=0$

3. 3

   y について解く。

   $(y+5)(y-1)=0\quad\Longrightarrow\quad y=1\ \text{または}\ y=-5$

4. 4

   y = 1 をほどく。

   $\frac{x^{2}}{x+2}=1\ \Longrightarrow\ x^{2}=x+2\ \Longrightarrow\ x^{2}-x-2=0\ \Longrightarrow\ (x-2)(x+1)=0$

   より $x=2$ または $x=-1$ が得られる（どちらも $-2$ ではないので許される）。

5. 5

   y = −5 が実数解を与えるか調べる。

   $\frac{x^{2}}{x+2}=-5\ \Longrightarrow\ x^{2}=-5x-10\ \Longrightarrow\ x^{2}+5x+10=0$

   その判別式は $25-40=-15<0$ なので、この分枝は実数解を与えない。確かめずに捨ててしまうことが、答えが狂い得る唯一の箇所である。

   $\boxed{x=2\ \text{または}\ x=-1}$

6. 6

   元の方程式で検証する。 $x=2$ ではかっこが $2-\tfrac{4}{4}=1$、第 2 項が $\tfrac{16}{4}=4$ なので $1+4=5$ ✓。$x=-1$ ではかっこが $-1-\tfrac{-2}{1}=1$、第 2 項が $\tfrac{4}{1}=4$ なので $1+4=5$ ✓。