1/(x(x + 2)) − 1/(x + 1)² = 1/12 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの分母の間に隠れた関係を見抜く。 展開すると $x(x+2)=x^{2}+2x$、$(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ である。両者の差はちょうど $1$ なので、

   $u=(x+1)^{2}$

   と置けば $x(x+2)=u-1$ となり、方程式は 1 文字の問題に潰れる。そのまま分母を払うと、代わりに 4 次式が出てきてしまう。

2. 2

   u で書き直す。

   $\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}=\frac{1}{12}$

3. 3

   左辺をまとめる。 分子が打ち消し合う：

   $\frac{u-(u-1)}{u(u-1)}=\frac{1}{u^{2}-u}$

   よって方程式は $\dfrac{1}{u^{2}-u}=\dfrac{1}{12}$、すなわち

   $u^{2}-u-12=0$

   となる。

4. 4

   u についての 2 次方程式を解く。

   $(u-4)(u+3)=0\quad\Longrightarrow\quad u=4\ \text{または}\ u=-3$

5. 5

   ありえない値を捨て、置き換えをほどく。 $u=(x+1)^{2}$ は 2 乗なので、$u=-3$ はありえない。$u=4$ から：

   $(x+1)^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad x+1=\pm 2\quad\Longrightarrow\quad x=1\ \text{または}\ x=-3$

   $\boxed{x=1\ \text{または}\ x=-3}$

6. 6

   2 つの解をもとの方程式で確かめ、定義域も確認する。 除外値は $x=0$、$x=-2$、$x=-1$ であり、どちらの解もそこには含まれない。$x=1$ では $\tfrac{1}{1\cdot 3}-\tfrac{1}{4}=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{1}{12}$ ✓。$x=-3$ では $\tfrac{1}{(-3)(-1)}-\tfrac{1}{4}=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{1}{12}$ ✓。2 つの解が $x=-1$ について対称なのは当然である。この方程式全体が $x$ に $(x+1)^{2}$ を通してしか依存していないからである。