連立方程式 x⁴ + y⁴ = 82、xy = 3 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   次数の低い対称式への橋を架ける。 恒等式

   $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}$

   により、与えられた 4 乗の式を、同じく与えられている $xy$ だけを使って変換できる。これが対称な連立の定石である：次数 $4$ から次数 $2$ へ降りる。

2. 2

   x² + y² を計算する。

   $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=82+2(3)^{2}=82+18=100$

   実数の $x,y$ では $x^{2}+y^{2}\ge 0$ なので、採用できるのは正の根だけである：

   $x^{2}+y^{2}=10$

3. 3

   x + y と x − y を求める。

   $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=10+6=16\ \Longrightarrow\ x+y=\pm 4$

   $(x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy=10-6=4\ \Longrightarrow\ x-y=\pm 2$

4. 4

   符号の組み合わせをとり、整合する組だけを残す。 $x+y=4$ からは、$x-y=2$ で $(3,1)$、$x-y=-2$ で $(1,3)$ が得られる。$x+y=-4$ からは $(-1,-3)$ と $(-3,-1)$ が得られる。

   $\boxed{(x,y)=(3,1),\ (1,3),\ (-1,-3),\ (-3,-1)}$

5. 5

   すべての組を両方の式で確かめる。 $(3,1)$ では $81+1=82$ ✓、$3\cdot 1=3$ ✓。$(-1,-3)$ では $1+81=82$ ✓、$(-1)(-3)=3$ ✓。残る 2 組は、連立を保つ対称性 $x\leftrightarrow y$ と $(x,y)\to(-x,-y)$ から従う。

6. 6

   符号の整合条件に注意する。 $xy=3>0$ なので $x$ と $y$ は同じ符号でなければならない——だからこそ $x+y=4$ は $x-y=\pm 2$ としか組めず、符号の混ざった解は決して生じない。$(3,-1)$ のような候補は $xy=3$ を満たさない。