連立方程式 x² + y² + xy = 7、x + y + xy = 5 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   基本対称式を導入する。 どちらの式も $x$ と $y$ について対称なので、

   $s=x+y,\qquad p=xy$

   と置く。$x^{2}+y^{2}=s^{2}-2p$ を使うと、第 1 式は

   $s^{2}-2p+p=s^{2}-p=7$

   となり、第 2 式は単に $s+p=5$ である。

2. 2

   s と p の小さな連立を解く。 第 2 式から $p=5-s$ で、これを第 1 式に代入すると：

   $s^{2}-(5-s)=7\quad\Longrightarrow\quad s^{2}+s-12=0\quad\Longrightarrow\quad (s+4)(s-3)=0$

   なので $s=3$ または $s=-4$ である。

3. 3

   分枝 s = 3 を調べる。 このとき $p=5-3=2$ であり、$x,y$ は

   $t^{2}-st+p=t^{2}-3t+2=0\quad\Longrightarrow\quad (t-1)(t-2)=0$

   の解なので、$\{x,y\}=\{1,2\}$ となる。

4. 4

   分枝 s = −4 を調べる。 このとき $p=5-(-4)=9$ で、$x,y$ は

   $t^{2}+4t+9=0$

   の解になるはずだが、その判別式は $16-36=-20<0$ である。この分枝は実数解を与えないので捨てなければならない——対称な組が実数で実現できるかどうかは、$s^{2}\ge 4p$ を確かめるのが標準的な判定法である。

5. 5

   解を述べる。

   $\boxed{(x,y)=(1,2)\ \text{または}\ (2,1)}$

6. 6

   検証する。 $(1,2)$ では $1+4+2=7$ ✓、$1+2+2=5$ ✓。連立が対称なので $(2,1)$ も同じように成り立つ——だからこそ解は単独ではなく、入れ替えた組で現れる。