連立不等式 x − 3(x − 2) ≥ 4、(2x − 1)/5 < (x + 1)/2 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   第 1 の不等式を解く。 $-3$ が両方の項に掛かることに注意して展開する：

   $x-3x+6\ge 4\quad\Longrightarrow\quad -2x+6\ge 4\quad\Longrightarrow\quad -2x\ge -2$

2. 2

   負の係数で割り、不等号を反転させる。 両辺を $-2$ で割ると不等号が反転する：

   $x\le 1$

   この反転が、この問題全体で最も多い誤りである。

3. 3

   第 2 の不等式は分母を払って解く。 $5$ と $2$ の最小公倍数は $10$ で、これは正なので、掛けても向きは変わらない：

   $2(2x-1)<5(x+1)\quad\Longrightarrow\quad 4x-2<5x+5$

4. 4

   x を孤立させる。 両辺から $4x$ と $5$ を引くと：

   $-7<x$

5. 5

   2 つの解集合の共通部分をとる。 両方の条件が同時に成り立たなければならない：

   $-7<x\le 1$

   $\boxed{(-7,\,1]}$

6. 6

   数直線の図を述べ、端点を検証する。 $-7$ に白丸（狭義の不等式なので除外）、$1$ に黒丸（含む）を打ち、その間を塗る。確認すると、$x=1$ では第 1 式が $1-3(-1)=4\ge 4$ ✓、第 2 式が $\tfrac15<1$ ✓。$x=-7$ では第 2 式が $\tfrac{-15}{5}=-3<\tfrac{-6}{2}=-3$ となって偽であり、$-7$ を除外すべきことが確かめられる。$x=0$（内側）では両方とも成り立つ ✓。