連立方程式 (2/3)x − (3/4)y = 1/2、4(x − y) − 3(2x + y) = 17 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   第 1 式の分数を払う。 分母 $3$、$4$、$2$ の最小公倍数は $12$ なので、右辺も含めてすべての項を $12$ 倍する：

   $12\left(\tfrac23x\right)-12\left(\tfrac34y\right)=12\left(\tfrac12\right)\quad\Longrightarrow\quad 8x-9y=6$

2. 2

   第 2 式を展開する。 $-3$ の符号に注意しながら、両方のかっこを分配する：

   $4x-4y-6x-3y=17\quad\Longrightarrow\quad -2x-7y=17$

   $-1$ を掛ければ、より整った

   $2x+7y=-17$

   が得られる。

3. 3

   x を消去する。 第 2 式を $4$ 倍して、両式とも $8x$ にする：

   $8x+28y=-68$

   ここから第 1 式 $8x-9y=6$ を引くと：

   $(8x+28y)-(8x-9y)=-68-6\quad\Longrightarrow\quad 37y=-74$

4. 4

   y を求めて後退代入する。

   $y=-2$

   $2x+7(-2)=-17\quad\Longrightarrow\quad 2x-14=-17\quad\Longrightarrow\quad 2x=-3\quad\Longrightarrow\quad x=-\tfrac32$

   $\boxed{x=-\tfrac32,\quad y=-2}$

5. 5

   元の 2 式で検算する。 第 1 式：$\tfrac23\left(-\tfrac32\right)-\tfrac34(-2)=-1+\tfrac32=\tfrac12$ ✓。第 2 式：$4\left(-\tfrac32+2\right)-3\left(-3-2\right)=4\left(\tfrac12\right)+15=2+15=17$ ✓。整理後ではなく元の式で確かめることで、$12$ 倍とかっこの展開が正しく行われたことも同時に確認できる。