連立方程式 1/x + 1/y = 8、6/x + 12/y = 1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   置換して分母を消す。 未知数は $1/x$ と $1/y$ の形でしか現れないので、 $a=\frac1x,\qquad b=\frac1y$ と置けば、連立は 1 次の $a+b=8,\qquad 6a+12b=1.$ に変わる。分母を払って展開すると散らかった 2 次の連立になってしまうので、置換のほうがずっときれいである。

2. 2

   第 2 式を簡単にする。 $6a+12b=1$ を $6$ で割ると $a+2b=\frac16.$ となる。これで両式の $a$ の係数が揃い、1 回の引き算で消去できる形になった。

3. 3

   $a$ を消去して $b$ を求める。 第 2 式から第 1 式を引くと、 $\left(a+2b\right)-\left(a+b\right)=\frac16-8\quad\Longrightarrow\quad b=\frac16-\frac{48}{6}=-\frac{47}{6}.$ $b$ が負でも何ら問題はない——$y$ が負になるというだけのことである。

4. 4

   後退代入で $a$ を求める。 $a+b=8$ より、 $a=8+\frac{47}{6}=\frac{48}{6}+\frac{47}{6}=\frac{95}{6}.$

5. 5

   逆数をとって $x$ と $y$ に戻す。 $a=1/x$、$b=1/y$ なので、 $x=\frac{1}{a}=\frac{6}{95},\qquad y=\frac{1}{b}=-\frac{6}{47}.$ どちらもゼロではないので元の分母は正当であり、捨てるべき解は無い。

6. 6

   元の式で検算する。 $\dfrac{1}{x}=\dfrac{95}{6}$、$\dfrac{1}{y}=-\dfrac{47}{6}$ なので、第 1 式は $\dfrac{95}{6}-\dfrac{47}{6}=\dfrac{48}{6}=8$、第 2 式は $6\cdot\dfrac{95}{6}+12\cdot\left(-\dfrac{47}{6}\right)=95-94=1$ となる。どちらも厳密に成り立ち、丸めは一切入っていない。