不等式 √(3x − 1) > 2x を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず定義域を求める。 根号の中身は非負でなければならない：

   $3x-1\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge\frac13$

   以降の議論はすべて $x\ge\tfrac13$ に制限される。

2. 2

   右辺が負になり得るかを確かめる。 2 乗が可逆なのは両辺が非負のときだけである。定義域 $x\ge\tfrac13>0$ では $2x>0$ なので両辺とも正であり、2 乗は正当な同値変形である——場合分けは要らない。

3. 3

   両辺を 2 乗する。

   $3x-1>4x^{2}\quad\Longrightarrow\quad 0>4x^{2}-3x+1$

4. 4

   2 次式が負になり得るか調べる。 その判別式は

   $(-3)^{2}-4(4)(1)=9-16=-7<0$

   であり、最高次の係数 $4$ は正なので、すべての実数 $x$ について $4x^{2}-3x+1>0$ である。したがって、要求されている不等式 $4x^{2}-3x+1<0$ には解がまったく無い。

5. 5

   結論を出す。

   $\boxed{\text{解なし：解集合は空集合}}$

6. 6

   いくつかの点で確かめ、その理由を見る。 $x=\tfrac13$ では $\sqrt0=0$ に対し $\tfrac23$ ——左辺が負ける。$x=\tfrac12$ では $\sqrt{0.5}=0.707$ に対し $1$ ——負ける。$x=1$ では $\sqrt2=1.414$ に対し $2$ ——負ける。定義域全体で直線 $2x$ のほうが $\sqrt{3x-1}$ より速く伸びており、判別式の計算が示すとおり、最も接近する点（$x=\tfrac{25}{48}$ 付近、そこで差は最小になるがなお正）でも狭義に上にある。