不等式 (7x − 1)/(3x − 2) < 4 を、各段階の理由を説明しながら解け。

Step-by-step solution

1. 1

   両辺に 3x − 2 を掛けてはいけない。 量 $3x-2$ は $x>\tfrac23$ では正、$x<\tfrac23$ では負である。符号の定まらない式を不等式の両辺に掛けるのは正当でない——数直線の一方の側では向きが保たれ、もう一方では逆転してしまうからである。安全なやり方は、すべてを片側へ寄せて 0 と比べることである。

2. 2

   両辺から 4 を引く。 定数の加減はつねに正当である：

   $\frac{7x-1}{3x-2}-4<0$

3. 3

   1 つの分数にまとめる。 $4$ を $\dfrac{4(3x-2)}{3x-2}$ と書き直す：

   $\frac{7x-1-4(3x-2)}{3x-2}=\frac{7x-1-12x+8}{3x-2}=\frac{7-5x}{3x-2}<0$

4. 4

   臨界点を求める。 分子は $7-5x=0$ すなわち $x=\tfrac75$ で消え、分母は $x=\tfrac23$ で消える。これらが数直線を $\left(-\infty,\tfrac23\right)$、$\left(\tfrac23,\tfrac75\right)$、$\left(\tfrac75,\infty\right)$ に分ける。

5. 5

   各区間で 1 点ずつ調べる。

   $x=0$：$\dfrac{7}{-2}<0$ ✓

   $x=1$：$\dfrac{2}{1}=2>0$ ✗

   $x=2$：$\dfrac{-3}{4}<0$ ✓

6. 6

   端点を一つずつ判断しながら解をまとめる。 不等号は狭義なので、分数が $0$ になる $x=\tfrac75$ は除かれる。また $x=\tfrac23$ では式が定義されないので、こちらも除かれる：

   $\boxed{x<\dfrac23\quad\text{または}\quad x>\dfrac75}$

7. 7

   もとの不等式で確かめる。 $x=0$ では $\tfrac{-1}{-2}=0.5<4$ ✓。$x=1$ では $\tfrac{6}{1}=6\not<4$ ✗。$x=2$ では $\tfrac{13}{4}=3.25<4$ ✓。なお、素朴にたすき掛けをすると $7x-1<12x-8$ すなわち $x>\tfrac75$ が得られるが、これは一方の枝では正しいものの、区間 $x<\tfrac23$ をまるごと取りこぼしている。手順 1 で警告したとおりである。