x の値をすべて求めよ：√(x + 7) − 11 = 2。

Step-by-step solution

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   まず根号を孤立させる。 $-11$ が左辺に残ったまま両辺を 2 乗すると $(\sqrt{x+7}-11)^2 = x + 7 - 22\sqrt{x+7} + 121$ となり、根号は残ったままで前より悪化する。両辺に $11$ を足す：

   $\sqrt{x+7} = 13$

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   解が存在し得ることを確認する。 右辺は $13 > 0$ であり、主値の平方根は非負なので、ただちに矛盾するわけではない。（もし $\sqrt{x+7} = -13$ に到達していたなら、そこで止めて「解なし」と答えられる。）

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   両辺を 2 乗する。 根号が単独になっているので、2 乗はきれいに済む：

   $x + 7 = 169$

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   1 次方程式を解く。

   $x = 169 - 7 = 162$

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   無縁解でないか確かめる。 2 乗は偽の解を作り得るので、元の方程式に代入し直す：

   $\sqrt{162+7} - 11 = \sqrt{169} - 11 = 13 - 11 = 2 \;\checkmark$

   よって $x = 162$ は本物である。対比として、誤答候補の $x = 169$ では $\sqrt{176} - 11 \approx 2.27 \neq 2$、$x = 6$ では $\sqrt{13} - 11 \approx -7.39$ となる——どちらも $-11$ の扱いを誤ったことから生じる。