方程式 √(3x − 8) − √(2x − 3) + √(x − 1) = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   何よりも先に定義域を求める。 3 つの根号の中身はすべて非負でなければならない：$3x \ge 8$、$2x \ge 3$、$x \ge 1$。効いてくる条件は $x \ge \tfrac{8}{3} \approx 2.6667$ なので、これを下回る答えは自動的に無効である。

2. 2

   両辺が非負になるように移項する。 書かれたままでは左辺に符号が混在しており、2 乗すると散らかる。負の項を右辺へ移す：

   $\sqrt{3x-8} + \sqrt{x-1} = \sqrt{2x-3}$

   これで両辺とも主値の平方根の和になって $\ge 0$ であり、2 乗しても符号の誤りは生じない。

3. 3

   1 回目の 2 乗。 $(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$ を使うと：

   $(3x-8) + 2\sqrt{(3x-8)(x-1)} + (x-1) = 2x-3$

   $4x - 9 + 2\sqrt{(3x-8)(x-1)} = 2x - 3 \;\Longrightarrow\; \sqrt{(3x-8)(x-1)} = 3 - x$

4. 4

   新しい符号条件を書き留めてから、もう一度 2 乗する。 左辺は $\ge 0$ なので $3 - x \ge 0$、すなわち $x \le 3$ が必要である。定義域と合わせると、解は $\left[\tfrac{8}{3},\,3\right]$ の中にある——ごく狭い窓である。2 乗すると：

   $3x^2 - 11x + 8 = x^2 - 6x + 9 \;\Longrightarrow\; 2x^2 - 5x - 1 = 0$

5. 5

   解いてふるいにかける。 解の公式より：

   $x = \frac{5 \pm \sqrt{25+8}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}$

   すなわち $x \approx 2.6861$ または $x \approx -0.1861$ である。負のほうは定義域から大きく外れている（根号の中身が負になる）ので、通用し得るのは $x = \tfrac{5+\sqrt{33}}{4}$ だけであり、それが $[2.6667,\,3]$ にきわどく収まっている点にも注目したい。

6. 6

   元の方程式で検証する。 $x = 2.6861407$ では $\sqrt{3x-8} = \sqrt{0.058422} = 0.241706$、$\sqrt{2x-3} = \sqrt{2.372281} = 1.540221$、$\sqrt{x-1} = \sqrt{1.686141} = 1.298515$ である。すると $0.241706 - 1.540221 + 1.298515 = 0.000000$ ✓。記号計算でも残差はちょうど $0$ に簡約されるので、$x = \tfrac{5+\sqrt{33}}{4}$ が唯一の解である。