x² log₂(x) < 100000000 を解け。

Step-by-step solution

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   まず定義域を定める。 $\log_{2}x$ には $x>0$ が必要なので、議論はすべて $(0,\infty)$ の上で行われる。負の $x$ や $x=0$ を含む答えは、解析を始める前の時点で誤りである。

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   $0<x\le 1$ は別に処理する——手間はかからない。 $(0,1)$ では $\log_{2}x<0$ で $x^{2}>0$ なので積は負であり、確実に $10^{8}$ を下回る。たとえば $x=0.5$ では左辺は $-0.25$ である。$x=1$ ではちょうど $0$ になる。したがって区間 $(0,1]$ 全体が不等式を満たす。

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   $x>1$ で左辺が狭義単調増加であることを示す。 $h(x)=x^{2}\log_{2}x=\dfrac{x^{2}\ln x}{\ln 2}$ を微分すると $h'(x)=\frac{2x\ln x+x}{\ln 2}=\frac{x\left(2\ln x+1\right)}{\ln 2},$ となり、$\ln x>-\tfrac12$ である限り正、したがってすべての $x>1$ で正である。狭義単調増加な関数は水準 $10^{8}$ をちょうど 1 回だけ横切るので、解集合はひとつの区間 $(0,x_{0})$ でなければならない。

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   交点を挟み込む。 $h$ を評価すると： $h(2900)=96\,730\,450.73,\qquad h(2945)=99\,948\,390.39,\qquad h(2946)=100\,020\,529.48,\qquad h(3000)=103\,956\,721.07.$ $h(x)-10^{8}$ の符号は $2945$ と $2946$ の間で変わるので、$x_{0}$ はそこにある。ここは注意を要する段階である：$2954$ 付近の見積もりでは、$h(2954.5)=100\,634\,817$ なのですでに境界を行き過ぎている。

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   二分法で交点に迫る。 挟み込み区間 $[2945,2946]$ を二分法で詰めると $x_{0}=2945.715457.$ となる。確認すると $x_{0}^{2}=8\,677\,239.5517$、$\log_{2}x_{0}=11.524402364$ で、その積は $100\,000\,000.0000$ ——すなわち $x_{0}$ は確かに $x^{2}\log_{2}x=10^{8}$ の解である。

6. 6

   解集合を組み立てる。 2 つの領域を合わせて $0<x<2945.715457,$ すなわち小数第 6 位まででは $x\in\left(0,\,2945.715457\right)$ である。不等号が狭義なので、端点は除外される。