x⁴ − 24x² − 25 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   複 2 次式の形を見抜く。 $x$ の偶数乗しか現れないので、置換

   $t=x^{2}\quad(\text{ただし }t\ge 0\text{、実数の }x)$

   によって 4 次方程式が 2 次方程式になる。ここで条件 $t\ge 0$ を書き留めておくことが、後の棄却を自動的なものにする。

2. 2

   t についての 2 次方程式に書き直して解く。

   $t^{2}-24t-25=0\quad\Longrightarrow\quad (t-25)(t+1)=0$

   （積が $-25$、和が $-24$ となる組は $-25$ と $1$ である。）よって $t=25$ または $t=-1$ となる。

3. 3

   認められない値を捨てる。 実数の $x$ に対して $t=x^{2}$ は負になり得ないので、$t=-1$ は実数解を与えない。

4. 4

   認められる値をほどく。

   $x^{2}=25\quad\Longrightarrow\quad x=\pm 5$

   $\boxed{x=5\ \text{または}\ x=-5}$

5. 5

   両方の解を検算する。 $x=5$ では $625-24(25)-25=625-600-25=0$ ✓。偶数乗しか現れないので、$x=-5$ でも同じ ✓。

6. 6

   完全な因数分解にも触れておく。 $x^{4}-24x^{2}-25=\left(x^{2}-25\right)\left(x^{2}+1\right)=(x-5)(x+5)\left(x^{2}+1\right)$ である。4 次方程式の解は全部で 4 つ——実数の $\pm 5$ と複素数の $\pm i$ ——なので、実数解ではなくすべての解を問われているなら述べておく価値がある。