x/(x + 5) − 25/(x² + 25) = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず定義域を確認する。 分母 $x^{2}+25$ は実数 $x$ に対して決して 0 にならないので、除外すべき値は最初の分数から来る $x=-5$ だけである。もし解の候補が $-5$ になれば、それは棄却しなければならない。

2. 2

   一方の分数を移項してたすき掛けする。 元の式は 2 つの分数が等しいことを述べている。

   $\frac{x}{x+5}=\frac{25}{x^{2}+25}\quad\Longrightarrow\quad x\left(x^{2}+25\right)=25(x+5)$

3. 3

   展開する——中央の項が消えることに注目する。

   $x^{3}+25x=25x+125\quad\Longrightarrow\quad x^{3}=125$

   両辺の $25x$ がちょうど打ち消し合う。これが、扱いにくそうな三次方程式を単なる立方根の計算に変えている。

4. 4

   実数の立方根をとる。

   $x=\sqrt[3]{125}=5$

   実数の範囲ではこれが唯一の解である。三次式は $x^{3}-125=(x-5)\left(x^{2}+5x+25\right)$ と分解でき、二次因数の判別式は $25-100=-75<0$ なので、残る 2 解は虚数解になる。

5. 5

   元の方程式と定義域に照らして確かめる。 $x=5\neq -5$ なので許容され、

   $\frac{5}{10}-\frac{25}{50}=0.5-0.5=0\ \checkmark$

   $\boxed{x=5}$

6. 6

   よくある読み違いに注意する。 もし 2 つ目の分母が $x^{2}+25$ ではなく $x^{2}-25$ だったら、問題はまったく別物になる。$x^{2}-25$ は $(x+5)(x-5)$ と分解でき、除外値 $x=5$ が新たに加わるため、その解は棄却されることになる。分数を払う前に、分母の中の符号を必ず確認すること。