不等式 (75% + 85%(2000 - x))/2000 ≥ 83% を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まずすべての百分率を小数に直す。 $\%$ の記号を残したまま式変形するのは誤りへの近道なので、最初に一度で置き換えてしまう。$75\%=0.75$、$85\%=0.85$、$83\%=0.83$ である。

   $\frac{0.75+0.85(2000-x)}{2000}\ \ge\ 0.83$

2. 2

   分子の括弧を展開する。

   $0.85(2000-x)=1700-0.85x\;\Longrightarrow\;\frac{1700.75-0.85x}{2000}\ \ge\ 0.83$

3. 3

   分母を払う。 $2000>0$ なので、両辺に $2000$ を掛けても向きは変わらず安全である。

   $1700.75-0.85x\ \ge\ 1660$

4. 4

   $x$ の項を孤立させる。 両辺から $1700.75$ を引くと

   $-0.85x\ \ge\ -40.75$

   となる。

5. 5

   $-0.85$ で割り、不等号を反転させる。 向きが変わるのはこの一手だけである。負 の数で割ると大小関係が逆転するからである。

   $x\ \le\ \frac{-40.75}{-0.85}=\frac{40.75}{0.85}=47.941176\ldots$

6. 6

   境界の両側で値を確かめる。 $x=47$ では $\tfrac{1700.75-39.95}{2000}=0.83040\ge0.83$ ✓。$x=48$ では $\tfrac{1700.75-40.8}{2000}=0.829975<0.83$ ✗ ——境界は確かに $47$ と $48$ のあいだにあり、$x$ が整数でなければならないなら答えは $x\le47$ となる。