9(x − 1)² − 4 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   展開ではなく平方根の方法を選ぶ。 展開すれば $9x^2-18x+5=0$ となり、そこから因数分解か解の公式が必要になる。文字はすでに 1 つの二乗の括弧の中だけに現れているので、その括弧を単独にするほうが確実に手数が少ない。

2. 2

   二乗の項を単独にする。

   $9(x-1)^2=4\quad\Longrightarrow\quad (x-1)^2=\frac{4}{9}$

3. 3

   両辺の平方根をとる——符号は両方残す。 $\sqrt{u^2}=|u|$ なので、

   $x-1=\pm\frac{2}{3}$

   ここで $\pm$ を落とすのが、答えを半分失う典型的なやり方である。

4. 4

   得られた 2 本の一次方程式を解く。

   $x=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3},\qquad x=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

   $\boxed{x=\tfrac{5}{3}\ \text{または}\ x=\tfrac{1}{3}}$

5. 5

   両方の解をもとの方程式で確かめる。 $x=\tfrac53$ では $9\left(\tfrac23\right)^2-4=9\cdot\tfrac49-4=0$。$x=\tfrac13$ では $9\left(-\tfrac23\right)^2-4=9\cdot\tfrac49-4=0$。どちらも成り立つ。

6. 6

   二乗の差でも照合する。 $9(x-1)^2-4=\big(3(x-1)\big)^2-2^2=(3x-3-2)(3x-3+2)=(3x-5)(3x-1)$ であり、その零点は $x=\tfrac53$ と $x=\tfrac13$ ——同じ組である。