(3x − 24) の 4 乗と 7 の 3 乗の積が、2 と 7 の 4 乗の積に等しい。これを解け。

Step-by-step solution

1. 1

   両辺を共通の 7 のべきで割る。 $(3x-24)^4 = \frac{2\cdot 7^4}{7^3} = 2\cdot 7^{4-3} = 2\cdot 7 = 14.$ 先に $7^3$ を約分しておけば、$7^4 = 2401$ を計算せずに済む。

2. 2

   14 が 4 乗数かどうかを考える。 小さい整数の 4 乗は $1, 16, 81, 256,\ldots$ であり、$14$ はその中にない。よって $3x-24$ が整数（さらに言えば有理数）になることはなく、自然数の範囲ではこの方程式に解はない。

3. 3

   実数の範囲で 4 乗根をとる。 偶数乗根には実数の枝が 2 本ある： $3x-24 = \pm\sqrt[4]{14} = \pm 1.9343364.$ $14$ の残り 2 つの 4 乗根は純虚数なので、実数解を求めるにあたっては捨てる。

4. 4

   それぞれの枝について解く。 $3x = 24\pm 1.9343364 \quad\Longrightarrow\quad x = 8\pm\frac{\sqrt[4]{14}}{3},$ となり、$x \approx 8.6447788$ または $x \approx 7.3552212$ を得る。

5. 5

   1 つの解を検算する。 $x=8.6447788$ のとき $3x-24 = 1.9343364$ であり、$(1.9343364)^4 = 14.0000$ となる。これに $7^3=343$ を掛けると $4802 = 2\cdot2401 = 2\cdot7^4$ になる。正しい。

6. 6

   問われている水準に合わせて答える。 整数を答えとして期待している学校の問題であれば答えは「解なし」であり、実数の範囲では $8\pm\tfrac{\sqrt[4]{14}}{3}$ という対称な 2 数になる。$3x-24 = 3(x-8)$ なので、$x=8$ を中心に対称なのである。