25x⁴ + 10x² − 4 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   複二次式の形を見抜く。 $x$ の偶数乗しか現れないので、置き換え $u=x^{2}$ によって 4 次方程式が 2 次方程式になる。$25u^{2}+10u-4=0.$ この手は $ax^{4}+bx^{2}+c$ の形すべてで使え、一般の 4 次方程式の解の公式よりはるかに速い。

2. 2

   $u$ の 2 次方程式を解く。 $a=25$、$b=10$、$c=-4$ なので $u=\frac{-10\pm\sqrt{100-4(25)(-4)}}{50}=\frac{-10\pm\sqrt{500}}{50}=\frac{-10\pm 10\sqrt5}{50}=\frac{-1\pm\sqrt5}{5}.$ $\sqrt{500}=10\sqrt5$ であり、共通因数 $10$ が $50$ と約分されることに注意する。

3. 3

   置き換えを 1 つずつ戻す。 $u=x^{2}$ なので $u$ の各値は $x$ の値を 2 つずつ生む——ただし $u\ge 0$ のときに限る。$\sqrt5=2.2360680$ だから $u_{1}=\frac{\sqrt5-1}{5}=0.2472136>0,\qquad u_{2}=\frac{-1-\sqrt5}{5}=-0.6472136<0.$

4. 4

   正のほうの根から実数解を取り出す。 $x^{2}=\frac{\sqrt5-1}{5}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{5}}=\pm 0.4972058.$ 実数解はこの 2 つだけなので、4 次関数のグラフは軸をちょうど 2 回だけ横切る。

5. 5

   負のほうの根から虚数解を取り出す。 $x^{2}=-\frac{1+\sqrt5}{5}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm i\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{5}}=\pm 0.8044959\,i.$ 平方根をとる前に $u$ の符号を調べ忘れるのが定番の誤りで、存在しない実数解を 2 つでっち上げるか、複素数解を 2 つ取りこぼすことになる。

6. 6

   代入して検証する。 $x=0.4972058$ のとき $x^{2}=0.2472136$、$x^{4}=0.06111456$ なので、$25(0.06111456)+10(0.2472136)-4=1.5278640+2.4721360-4=0.0000000$ となる。もう 1 つの確認として、4 つの解の積は $c/a=-4/25=-0.16$ になるはずで、実際 $\left(0.4972058\right)^{2}\times\left(-\left(0.8044959\right)^{2}\right)=0.2472136\times(-0.6472136)=-0.1600000$ である。