2(x² + 1/x²) − 11(x − 1/x) + 8 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   式に現れているかっこに合う置き換えを選ぶ。 この方程式には $x-\tfrac1x$ が入っているので、

   $t=x-\frac1x\qquad(x\neq 0)$

   とおく。2 乗すると $t^{2}=x^{2}-2+\tfrac{1}{x^{2}}$ なので、

   $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}+2$

   ここがプラス $2$ であることに注意したい。もう一方のよく使う置き換え $t=x+\tfrac1x$ なら定数は $-2$ になる。この 2 つを取り違えるのが定番の誤りである。

2. 2

   t で方程式を書き直す。

   $2\left(t^{2}+2\right)-11t+8=0\quad\Longrightarrow\quad 2t^{2}-11t+12=0$

3. 3

   t の 2 次方程式を解く。

   $t=\frac{11\pm\sqrt{121-96}}{4}=\frac{11\pm 5}{4}\quad\Longrightarrow\quad t=4\ \text{または}\ t=\frac32$

4. 4

   t = 4 を戻す。

   $x-\frac1x=4\ \Longrightarrow\ x^{2}-4x-1=0\ \Longrightarrow\ x=2\pm\sqrt5$

   判別式が $16+4=20>0$ なので、どちらも実数である。

5. 5

   t = 3/2 を戻す。

   $x-\frac1x=\frac32\ \Longrightarrow\ 2x^{2}-3x-2=0\ \Longrightarrow\ (2x+1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{または}\ x=-\frac12$

   $\boxed{x=2+\sqrt5,\ 2-\sqrt5,\ 2,\ -\tfrac12}$

6. 6

   4 つとも生き残る理由を押さえ、1 つ検算する。 対になる $t=x+\tfrac1x$ の方程式（そこでは $|t|\ge 2$ が一部の枝を排除する）とは違い、$t=x-\tfrac1x$ はあらゆる実数値をとるので、どちらの枝も除外されない。$x=2$ で確かめると：$x^{2}+\tfrac{1}{x^{2}}=4.25$、$x-\tfrac1x=1.5$ であり、$2(4.25)-11(1.5)+8=8.5-16.5+8=0$ ✓。