12/((x + 1)(x + 5)) + 15/((x + 2)(x + 4)) = 2 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   それぞれの分母を展開して、共通の 2 次式を見つける。 2 組の因数は和が等しく、$1+5=2+4=6$ であることに注目する：

   $(x+1)(x+5)=x^{2}+6x+5,\qquad (x+2)(x+4)=x^{2}+6x+8$

   よって

   $u=x^{2}+6x$

   と置けば、どちらの分母も $u$ の一次式になる。そのまま分母を払うと、代わりに 4 次式が出てきてしまう。

2. 2

   u で書き直す。

   $\frac{12}{u+5}+\frac{15}{u+8}=2$

3. 3

   分母を払って整理する。

   $12(u+8)+15(u+5)=2(u+5)(u+8)$

   $12u+96+15u+75=2\left(u^{2}+13u+40\right)$

   $27u+171=2u^{2}+26u+80\quad\Longrightarrow\quad 2u^{2}-u-91=0$

4. 4

   u について解く。

   $u=\frac{1\pm\sqrt{1+728}}{4}=\frac{1\pm 27}{4}\quad\Longrightarrow\quad u=7\ \text{または}\ u=-\frac{13}{2}$

5. 5

   u のそれぞれの値をほどく。

   $u=7$：$x^{2}+6x-7=0\Rightarrow(x+7)(x-1)=0\Rightarrow x=-7$ または $x=1$。

   $u=-\tfrac{13}{2}$：$2x^{2}+12x+13=0\Rightarrow x=\dfrac{-12\pm\sqrt{144-104}}{4}=\dfrac{-6\pm\sqrt{10}}{2}$ であり、$144-104=40>0$ なのでどちらも実数である。

   $\boxed{x=1,\ -7,\ \frac{-6+\sqrt{10}}{2},\ \frac{-6-\sqrt{10}}{2}}$

6. 6

   定義域と解の 1 つを確かめる。 除外値は $x=-1,-2,-4,-5$ であり、4 つの解のどれもそこには含まれない（$\tfrac{-6\pm\sqrt{10}}{2}\approx -1.42$ と $-4.58$ で、どちらも十分に離れている）。$x=1$ で確かめると $\tfrac{12}{2\cdot 6}+\tfrac{15}{3\cdot 5}=1+1=2$ ✓。