1/((x + 1)(x + 3)) + 9/((x − 1)(x + 5)) = −1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   両方の分母を展開して、共通の 2 次の部分を探す。 因数の組は和が等しく、$1+3=(-1)+5=4$ である：

   $(x+1)(x+3)=x^{2}+4x+3,\qquad (x-1)(x+5)=x^{2}+4x-5$

   $v=x^{2}+4x$ と置けば、どちらの分母も $v$ の一次式になる。

2. 2

   v で書き直す。

   $\frac{1}{v+3}+\frac{9}{v-5}=-1$

3. 3

   分母を払う。

   $(v-5)+9(v+3)=-(v+3)(v-5)$

   $10v+22=-\left(v^{2}-2v-15\right)=-v^{2}+2v+15$

   $v^{2}+8v+7=0$

4. 4

   v について解く。

   $(v+1)(v+7)=0\quad\Longrightarrow\quad v=-1\ \text{または}\ v=-7$

5. 5

   それぞれの値をほどき、ありえないものを捨てる。

   $v=-1$：$x^{2}+4x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{-4\pm\sqrt{12}}{2}=-2\pm\sqrt3$ で、どちらも実数である。

   $v=-7$：$x^{2}+4x+7=0$ の判別式は $16-28=-12<0$ なので、実数解をもたない。

   $\boxed{x=-2+\sqrt3\ \text{または}\ x=-2-\sqrt3}$

6. 6

   定義域を確かめて検証する。 除外値は $x=-1,-3,1,-5$ であり、解 $-2\pm\sqrt3\approx -0.268$ と $-3.732$ はそのどれとも一致しない ✓。$x=-2+\sqrt3$ で確かめると、ここでは $v=x^{2}+4x=-1$ なので、左辺は $\tfrac{1}{2}+\tfrac{9}{-6}=0.5-1.5=-1$ ✓ となる。