(√a + 1)/(a − 1) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   隠れた平方の差を見抜く。 $a\ge 0$ のとき $a=\left(\sqrt a\right)^{2}$、$1=1^{2}$ なので、分母は因数分解できる：

   $a-1=\left(\sqrt a\right)^{2}-1^{2}=\left(\sqrt a-1\right)\left(\sqrt a+1\right)$

   ここが決め手である。これをしないかぎり、この分数に約分できそうな箇所は見当たらない。

2. 2

   分母を因数分解した形で分数を書き直す。

   $\frac{\sqrt a+1}{\left(\sqrt a-1\right)\left(\sqrt a+1\right)}$

3. 3

   共通因数を約分する。 $a\ge 0$ なので $\sqrt a+1\ge 1>0$ であり、この約分は常に正当である。新たな除外条件は生じない：

   $\frac{1}{\sqrt a-1}$

4. 4

   定義域を書き留める。 もとの式には（平方根のため）$a\ge 0$ と、（分母が 0 にならないため）$a\neq 1$ が必要である。$\sqrt a-1=0$ となるのはちょうど $a=1$ のときなので、簡単にした形も同じ 2 つの制限を引き継ぐ。

   $\boxed{\dfrac{1}{\sqrt a-1}\qquad(a\ge 0,\ a\neq 1)}$

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   値を代入して確かめる。 $a=9$ のとき、もとの式は $\dfrac{3+1}{9-1}=\dfrac48=0.5$ であり、簡単にした形は $\dfrac{1}{3-1}=0.5$ ✓。$a=0.25$ のときは、もとの式が $=\dfrac{0.5+1}{0.25-1}=\dfrac{1.5}{-0.75}=-2$、簡単にした形が $=\dfrac{1}{0.5-1}=-2$ ✓ となり、負の値をとる範囲 $0\le a<1$ でも一致している。